Vollständige Induktion - Grenzwerte von Folgen und Reihen - Stetige Funktionen - Die Elementaren Funktionen - Differentialrechnung - Das Riemannsche Integral - Taylor- und Fourier-Reihen

Vollständige Induktion - Grenzwerte von Folgen und Reihen - Stetige Funktionen - Die Elementaren Funktionen - Differentialrechnung - Das Riemannsche Integral - Taylor- und Fourier-Reihen

Inhaltsverzeichnis

1	Vollständige Induktion	1
2	Die Körper-Axiome	10
3	Die Anordnungs-Axiome	18
4	Folgen, Grenzwerte	27
5	Das Vollständigkeits-Axiom	41
6	Wurzeln	54
7	Konvergenz-Kriterien für Reihen	62
8	Die Exponentialreihe	73
9	Punktmengen	80
10	Funktionen. Stetigkeit	92
11	Sätze über stetige Funktionen	102
12	Logarithmus und allgemeine Potenz	112
13	Die Exponentialfunktion im Komplexen	124
14	Trigonometrische Funktionen	133
15	Differentiation	149
16	Lokale Extrema. Mittelwertsatz. Konvexität	163
17	Numerische Lösung von Gleichungen	176
18	Das Riemannsche Integral	186
19	Integration und Differentiation	201
20	Uneigentliche Integrale. Die Gamma-Funktion	217
21	Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen	232
22	Taylor-Reihen	247
23	Fourier-Reihen	265

Zusammenstellung der Axiome der reellen Zahlen	280
Literaturhinweise	281
Namens- und Sachverzeichnis	282
Symbolverzeichnis	287

Professor Dr. Otto Forster lehrt am Mathematischen Institut der Ludwig-Maximilians-Universität München.

Vorwort zur ersten Auflage

Dieses Buch ist entstanden aus der Ausarbeitung einer Vorlesung, die ich im WS 1970/71 für Studenten der Mathematik und Physik des ersten Semesters an der Universität Regensburg gehalten habe. Diese Ausarbeitung wurde später von verschiedenen Kollegen als Begleittext zur Vorlesung benutzt.

Der Inhalt umfaßt im wesentlichen den traditionellen Lehrstoff der Analysis-Kurse des ersten Semesters an deutschen Universitäten und Technischen Hochschulen. Bei der Stoffauswahl wurde angestrebt, dem konkreten mathematischen Inhalt, der auch für die Anwendungen wichtig ist, vor einem großen abstrakten Begriffsapparat den Vorzug zu geben und dabei gleichzeitig in systematischer Weise möglichst einfach und schnell zu den grundlegenden Begriffen (Grenzwert, Stetigkeit, Differentiation, Riemannsches Integral) vorzudringen und sie mit vielen Beispielen zu illustrieren. Deshalb wurde auch die Einführung der elementaren Funktionen vor die Abschnitte über Differentiation und Integration gezogen, um dort genügend Beispielmaterial zur Verfügung zu haben. Auf die numerische Seite der Analysis (Approximation von Größen, die nicht in endlich vielen Schritten berechnet werden können) wird an verschiedenen Stellen eingegangen, um den Grenzwertbegriff konkreter zu machen.

Der Umfang des Stoffes ist so angelegt, daß er in einer vierstündigen Vorlesung in einem Wintersemester durchgenommen werden kann. Die einzelnen Paragraphen entsprechen je nach Länge einer bis zwei Vorlesungs-Doppelstunden. Bei Zeitmangel können die §§ 17 und 23 sowie Teile der §§ 16 (Konvexität) und 20 (Gamma-Funktion) weggelassen werden.

Für seine Unterstützung möchte ich mich bei Herrn D. Leistner bedanken. Er hat die seinerzeitige Vorlesungs-Ausarbeitung geschrieben, beim Lesen der Korrekturen geholfen und das Namens- und Sachverzeichnis erstellt.

Münster, Oktober 1975

O. Forster

Vorwort zur 5. Auflage

Die erste Auflage dieses Buches erschien 1976. Seitdem hat es viele Jahrgänge von Studentinnen und Studenten der Mathematik und Physik beim Beginn ihres Analysis-Studiums begleitet. Aufgrund der damaligen Satz-Technik waren bei Neuauflagen nur geringfügige Änderungen möglich. Die einzige wesentliche Neuerung war das Erscheinen des Übungsbuchs zur Analysis 1 [FW].

Bei der jetzigen Neuauflage erhielt der Text nicht nur eine neue äußere Form (TEX-Satz), sondern wurde auch gründlich überarbeitet, um ihn wo möglich noch verständlicher zu machen. An verschiedenen Stellen wurden Bezüge zur Informatik hergestellt. So erhielt §5, in dem u.a. die Entwicklung reeller Zahlen als Dezimalbrüche (und allgemeiner b-adische Brüche) behandelt wird, einen Anhang über die Darstellung reeller Zahlen im Computer. In §9 finden sich einige grundsätzliche Bemerkungen zur Berechenbarkeit reeller Zahlen. Verschiedene numerische Beispiele wurden durch Programm-Code ergänzt, so dass die Rechnungen direkt am Computer nachvollzogen werden können. Dabei wurde der PASCAL-ähnliche Multipräzisions-Interpreter ARIBAS benutzt, den ich ursprünglich für das Buch [Fo] entwickelt habe, und der frei über das Internet erhältlich ist (Einzelheiten dazu auf Seite VIII). Die Programm-Beispiele lassen sich aber leicht auf andere Systeme, wie Maple oder Mathematica übertragen. In diesem Zusammenhang sei auch auf das Buch [BM] hingewiesen.

Insgesamt wurden aber für die Neuauflage die bewährten Charakteristiken des Buches beibehalten, nämlich ohne zu große Abstraktionen und ohne Stoffüberladung die wesentlichen Inhalte gründlich zu behandeln und sie mit konkreten Beispielen zu illustrieren. So hoffe ich, dass das Buch auch weiterhin seinen Leserinnen und Lesern den Einstieg in die Analysis erleichtern wird.

Wertvolle Hilfe habe ich von Herrn H. Stoppel erhalten. Er hat seine TEX-Erfahrung als Autor des Buches [SG] eingebracht und den Hauptteil der TEXnischen Herstellung der Neuauflage übernommen. Viele der Bilder wurden von Herrn V. Solinus erstellt. Ihnen sei herzlich gedankt, ebenso Frau Schmickler-Hirzebruch vom Vieweg-Verlag, die sich mit großem Engagement für das Zustandekommen der Neuauflage eingesetzt hat.

München, April 1999

Otto Forster

Vorwort zur 8. Auflage

Neben der Korrektur bekannt gewordener Druckfehler (den vielen aufmerksamen LeserInnen sei Dank!), habe ich für die 6. bis 8. Auflage den Text an verschiedenen Stellen weiter überarbeitet und ergänzt. Außerdem habe ich neue Abbildungen und Übungsaufgaben hinzugefügt.

München, Dezember 2005

Otto Forster

Software zum Buch

Die Programm-Beispiele des Buches sind für ARIBAS geschrieben. Dies ist ein Multipräzisions-Interpreter mit einer PASCAL-ähnlichen Syntax. Er ist (unter der GNU General Public License) frei über das Internet erhältlich. Es gibt Versionen von ARIBAS für verschiedene Plattformen, wie MsWindows (von Windows95 über WindowsNT bis WindowsXP), LINUX und andere UNIX-Systeme. Für diejenigen, die hinter die Kulissen sehen wollen, ist auch der C-Source-Code von ARIBAS verfügbar. Um ARIBAS zu erhalten, gehe man auf die WWW-Homepage des Verfassers,

und von dort zum Unterpunkt Software/ARIBAS. Dort finden sich weitere Informationen. Da ARIBAS ein kompaktes System ist, muss nur etwa 1/4 MB heruntergeladen werden.

Von der oben genannten Homepage gelangt man über den Unterpunkt Bücher/Analysis auch zur Homepage dieses Buches. Von dort sind die Listings der Programm-Beispiele erhältlich, so dass sie nicht mühsam abgetippt werden müssen. Im Laufe der Zeit werden noch weitere Listings zu numerischen Übungsaufgaben und zu Ergänzungen zum Text dazukommen. Ebenfalls wird dort eine Liste der unvermeidlich zutage tretenden Errata abgelegt werden. Die aufmerksamen Leserinnen und Leser seien ermuntert, mir Fehler per Email an folgende Adresse zu melden: