Dieses Lehr- und Übungsbuch ist passgenau auf die Inhalte des Mathematikunterrichtes an Fachschulen Technik ausgerichtet. Das didaktische Konzept, den Stoff anwendungsorientiert und anschaulich zu vermitteln, wurde konsequent eingehalten. Viele Beispielaufgaben aus der Technik mit sehr ausführlichem Lösungsweg ermöglichen ein erfolgreiches Selbststudium. Selbsterklärende Abbildungen und die Zweispaltigkeit helfen dem Leser für ein besseres Verständnis. Viele Aufgaben mit unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad und Lösungen sichern den Lernerfolg. Neu in dieser Auflage ist ein umfangreiches Kapitel zur Vektorrechnung sowie alle Lösungen, die jetzt mit im Buch enthalten sind.

Mathematische Begriffe und Schreibweisen - Rechnen mit Termen - Lineare Gleichungen - Systeme linearer Gleichungen - Potenzen - Quadratische Gleichungen - Wurzelgleichungen - Ungleichungen - Quadratische Funktionen - Potenzfunktionen - Analytische Geometrie - Exponentialfunktionen - Logarithmen - Trigonometrie - Flächen- und Körperberechnungen - Differentiation von Funktionen - Flächen- und Volumenberechnung mittels Integralrechnung - Vektorrechnung - Komplexe Rechnung

Inhaltsverzeichnis
Vorwort.	V

1	Mathematische Begriffe und Schreibweisen.	1
1.1	Zahlen.	1
1.1.1	Zahlendarstellung auf der Zahlengeraden.	1
1.2	Mengen.	3
1.2.1	Aufzählende Mengenschreibweise.	3
1.2.2	Beschreibende Mengenschreibweise.	3
1.2.3	Mengendiagramme.	4
1.2.4	Beziehungen zwischen Mengen (Mengenrelationen).	4
1.2.5	Mengenverknüpfungen (Mengenoperationen).	5
1.3	Intervallschreibweisen.	8
1.4	Symbole der Logik.	8
2	Rechnen mit Termen.	9
2.1	Grundrechenarten mit Termen.	9
2.1.1	Addition und Subtraktion (Rechnen mit Klammertermen).	10
2.1.2	Klammern in Klammern.	10
2.2	Multiplikation und Division.	11
2.2.1	Multiplikation mit negativen Zahlen.	11
2.2.2	Multiplikation mit Null (Nullprodukt).	11
2.2.3	Multiplikation mit Summentermen.	12
2.2.4	Binomische Formeln.	13
2.2.5	Quotienten aus positiven und negativen Zahlen.	16
2.2.6	Rechnen mit Bruchtermen.	18
3	Lineare Gleichungen.	27
3.1	Äquivalenz von Aussageformen.	27
3.2	Lösungsverfahren für lineare Gleichungen.	28
3.3	Einfache lineare Gleichungen.	29
3.4	Bruchgleichungen.	31
3.5	Gleichungen mit Formvariablen.	34
3.6	Verhältnisgleichungen (Proportionen).	40
3.7	Textliche Gleichungen.	43
3.7.1	Allgemeine textliche Gleichungen.	43
3.7.2	Mischungsaufgaben.	45
3.7.3	Bewegungsaufgaben.	49
3.7.4	Behälteraufgaben.	51
3.7.5	Arbeitsaufgaben.	53
4	Funktionen 1. Grades.	56
4.1	Der Funktionsbegriff.	56
4.2	Darstellung von Funktionen.	57
4.3	Funktionsdarstellung im Koordinatensystem.	58
4.3.1	Das rechtwinklige Koordinatensystem.	58
4.3.2	Das Polarkoordinatensystem.	59
4.4	Lineare Funktionen der Technik.	61
4.5	Die lineare Funktion x → mx.	62
4.6	Die Funktion 1. Grades mit der Funktionsgleichung y = mx + b	64
4.7	Graphische Darstellung linearer Zusammenhänge.	66
5	Systeme linearer Gleichungen.	69
5.1	Graphisches Lösungsverfahren von Gleichungsystemen.	69
5.2	Rechnerische Lösungverfahren von Gleichungssystemen.	70
5.2.1	Das Gleichsetzungsverfahren.	71
5.2.2	Das Einsetzungsverfahren.	71
5.2.3	Das Additionsverfahren.	74
5.2.4	Das Determinantenverfahren.	77
5.2.5	Gleichungssysteme mit Bruchtermen.	79
5.3	Lösungsverfahren für Gleichungssysteme mit drei Variablen.	82
5.4	Textaufgaben mit zwei Variablen.	86
5.4.1	Mischungsaufgaben.	86
5.4.2	Bewegungsaufgaben.	88
5.4.3	Behälteraufgaben.	88
6	Potenzen.	92
6.1	Potenzbegriff.	92
6.2	Potenzgesetze.	92
6.2.1	Addition und Subtraktion von Potenzen.	92
6.2.2	Multiplikation von Potenzen.	93
6.2.3	Division von Potenzen.	94
6.2.4	Potenzieren von Potenzen.	95
6.3	Erweiterung des Potenzbegriffes und Potenzen mit negativen ganzen Hochzahlen.	95
6.4	Besondere Potenzen (Zehnerpotenzen).	97
6.5	Potenzen von Binomen.	100
7	Wurzeln.	102
7.1	Wurzelbegriff.	102
7.1.1	Quadratwurzeln.	102
7.1.2	Der allgemeine Wurzelbegriff.	105
7.2	Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Hochzahlen.	105
7.3	Rechnen mit Wurzel- und Potenztermen.	108
8	Quadratische Gleichungen.	113
8.1	Rechnerische Lösung quadratischer Gleichungen.	114
8.1.1	Reinquadratische Gleichungen.	114
8.1.2	Gemischtquadratische Gleichungen ohne Absolutglied.	116
8.1.3	Gemischtquadratische Gleichungen.	116
8.2	Lösbarkeit quadratischer Gleichungen, Diskriminante.	118
8.3	Koeffizientenregel von Vieta.	119
8.4	Biquadratische Gleichungen.	121
8.5	Quadratische Gleichungssysteme mit zwei Variablen.	122
8.6	Textaussagen, die auf quadratische Gleichungen führen.	124
9	Wurzelgleichungen.	128
9.1	Wurzelgleichungen mit einer Variablen.	128
9.2	Wurzelgleichungen mit zwei Variablen.	131
10	Ungleichungen.	134
10.1	Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen.	134
10.2	Einfache lineare Ungleichungen.	136
10.3	Bruchungleichungen.	137
11	Lineare Ungleichungssysteme.	143
12	Lineares Optimieren.	146
13	Quadratische Funktionen.	155
13.1	Die allgemeine quadratische Funktion x → ax2 + bx + c und ihre graphische Darstellung.	155
13.2	Die Scheitelform der quadratischen Funktionsgleichung.	160
13.3	Extremwertaufgaben.	152
13.4	Aufstellen von Funktionsgleichungen aus Vorgaben.	165
13.5	Graphische Lösung quadratischer Gleichungen.	160
14	Potenzfunktionen.	170
14.1	Die Funktionen x → xn (n Î N).	171
14.1.1	Achsensymmetrische Parabeln (n gerade).	171
14.1.2	Punktsymmetrische Parabeln (n ungerade).	171
14.2	Die Funktionen x → x-n (n Î N).	172
14.2.1	Punktsymmetrische Hyperbeln (n ungerade).	172
14.2.2	Achsensymmetrische Hyperbeln (n gerade).	172
15	Wurzelfunktionen.	173
15.1	Quadratwurzelfunktionen.	173
15.2	Wurzelfunktionen höherer Ordnung.	176
16	Analytische Geometrie.	179
16.1	Länge und Steigung von Strecken.	179
16.2	Teilpunkte von Strecken.	181
16.2.1	Mittelpunkte von Strecken.	181
16.2.2	Beliebiger Teilpunkt T einer Strecke.	181
16.3	Geradengleichungen.	182
16.3.1	Punkt-Steigungs-Form.	189
16.3.2	Zwei-Punkte-Form.	183
16.3.3	Achsenabschnittsform.	184
16.3.4	HESSE-Form der Geradengleichung.	185
16.4	Winkel zwischen Geraden.	188
16.4.1	Winkel zwischen Gerade und x-Achse (Steigung und Steigungswinkel).	188
16.4.2	Schnittwinkel zweier Geraden.	190
16.5	Orthogonale Geraden.	191
16.6	Kreisgleichungen.	193
16.6.1	Mittelpunktsgleichung eines Kreises.	193
16.6.2	Allgemeine Kreisgleichung.	194
16.7	Kreis und Gerade.	196
16.8	Parabeln und Hyperbeln.	200
16.8.1	Brennpunkteigenschaften der Parabel.	200
16.8.2	Brennpunkteigenschaften der Hyperbel.	202
17	Exponentialfunktionen.	203
17.1	Die allgemeine Exponentialfunktion.	203
17.2	Die e-Funktion.	206
18	Logarithmen.	212
18.1	Logarithmenbegriff.	212
18.2	Logarithmensysteme.	213
18.2.1	Natürliche Logarithmen.	213
18.2.2	Zehnerlogarithmen.	214
18.3	Logarithmengesetze.	215
19	Logarithmusfunktionen.	219
19.1	Die allgemeine Logarithmusfunktion.	219
19.2	Die natürliche Logarithmusfunktion.	221
20	Exponentialgleichungen.	222
21	Koordinatensystem mit logarithmischer Teilung.	227
22	Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck.	228
22.1	Seitenverhältnisse als Winkelfunktionen.	228
22.2	Definition der Winkelfunktionen.	229
22.3	Längen- und Winkelberechnungen.	229
22.3.1	Die Sinusfunktion.	229
22.3.2	Die Kosinusfunktion.	231
22.3.3	Die Tangens- und Kotangensfunktion.	234
22.3.4	Vermischte Aufgaben.	236
22.4	Zusammenhang zwischen den Winkelfunktionen.	242
22.5	Winkelfunktionen beliebiger Winkel.	244
22.6	Die Graphen der Winkelfunktionen.	249
22.6.1	Die Schaubilder der Sinus- und Kosinusfunktion.	250
22.6.2	Die allgemeine Sinusfunktion und ihre graphische Darstellung.	251
22.6.3	Die Schaubilder der Tangens- und Kotangensfunktion.	254
23	Winkelfunktionen am schiefwinkligen Dreieck.	256
23.1	Sinussatz.	256
23.2	Kosinussatz.	263
23.3	Flächenberechnung des schiefwinkligen Dreiecks.	271
24	Additionstheoreme.	274
24.1	Funktionen der doppelten und halben Winkel.	277
24.2	Goniometrische Gleichungen.	278
25	Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck.	282
25.1	Satz des Pythagoras.	282
25.2	Kathetensatz (Satz des Euklid).	296
25.3	Höhensatz.	298
26	Ähnlichkeit.	301
26.1	Strahlensätze.	301
26.2	Streckenteilung und Mittelwerte.	308
26.3	Stetige Teilung (Goldener Schnitt).	311
27	Flächenberechnung.	315
27.1	Geradlinig begrenzte Flächen.	315
27.2	Kreisförmig begrenzte Flächen.	318
28	Volumenberechnung.	326
28.1	Prismatische Körper.	326
28.2	Pyramidenförmige und kegelförmige Körper.	332
28.2.1	Pyramide und Pyramidenstumpf.	332
28.2.2	Kegel und Kegelstumpf.	333
28.3	Kugelförmige Körper.	337
28.3.1	Vollkugel.	337
28.3.2	Kugelabschnitt (Kugelsegment).	340
28.3.3	Kugelschicht.	341
28.3.4	Kugelausschnitt (Kugelsektor).	344
28.4	Schiefe Körper.	349
28.4.1	Satz des Cavalieri.	349
28.4.2	Simpson'sche Regel.	350
28.5	Oberflächen und Volumina von Rotationskörpern (Guldin'sche Regel).	352

Differentialrechnung.

355

29	Grenzwerte.	355
29.1	Grenzwerte von Zahlenfolgen.	355
29.2	Grenzwerte von Funktionen.	356
29.2.1	Grenzwerte für x → x0.	356
29.2.2	Grenzwerte für x → + ∞ und x → - ∞.	358
29.2.3	Rechenregeln für Grenzwerte.	359
30	Stetigkeit von Funktionen.	361
31	Differentiation elementarer Funktionen.	363
31.1	Differenzenquotient und Differentialquotient.	363
31.2	Ableitung von Potenzfunktionen.	364
31.3	Allgemeine Ableitungsregeln.	365
31.4	Ableitung elementarer Funktionen (Übersicht).	368
31.5	Höhere Ableitungen.	369
32	Horner-Schema und Nullstellen ganzrationaler Funktionen.	372
32.1	Polynomdivision.	372
32.2	Horner-Schema.	373
33	Das Newtonsche Näherungsverfahren.	376
34	Anwendung der Differentialrechnung bei ganzrationalen Funktionen.	378
34.1	Kurvendiskussion.	378
34.2	Funktionssynthese.	382
34.3	Extremwertaufgaben.	385
35	Differentiation trigonometrischer Funktionen.	392
35.1	Ableitungen.	392
35.2	Funktionsuntersuchung trigonometrischer Funktionen.	393
35.3	Funktionssynthese trigonometrischer Funktionen.	395
36	Differentiation der Logarithmus- und Exponentialfunktionen.	396
36.1	Ableitungen.	396
36.1.1	Ableitung der Logarithmusfunktionen x → lg x und x → ln x.	396
36.1.2	Ableitung der Exponentialfunktionen x → ax und x → ex.	396
36.2	Funktionsuntersuchung von Exponentialfunktionen.	397
36.3	Funktionssynthese von Exponentialfunktionen.	398

Integralrechnung.	399

37	Der Begriff des Integrals.	399
37.1	Die Flächeninhaltsfunktion.	399
37.2	Stammfunktionen (= unbestimmte Integrale).	400
37.3	Grundintegrale elementarer Funktionen.	402
37.4	Das bestimmte Integral als Fläche.	402
37.5	Die Fläche als Grenzwert.	403
38	Flächenberechnung mit Hilfe der Integralrechnung	405
38.1	Flächen zwischen Funktionsgraph und x-Achse.	405
38.2	Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen.	407
39	Das bestimmte Integral als Volumen.	412
39.1	Rotationssymmetrie zur x-Achse.	412
39.2	Rotationssymmetrie zur y-Achse.	413

Vektorrechnung - Analytische Geometrie auf Vektorbasis	414

40	Punkte und Vektoren.	414
40.1	Definition eines Vektors.	414
40.2	Ortsvektoren.	415
40.3	Betrag eines Vektors.	416
40.4	Vektoren im Raum.	416
40.4.1	Vektor-Addition.	416
40.4.2	Vektor-Subtraktion.	417
40.4.3	Anwendungsbeispiele.	417
40.4.4	Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar (S-Multiplikation).	418
40.4.5	Lineare Abhängigkeit von Vektoren.	419
41	Geraden im Raum.	425
41.1	Vektorielle Geradengleichungen.	425
41.1.1	Punkt-Richtungs-Gleichung.	425
41.1.2	Zwei-Punkte-Gleichung.	426
41.2	Darstellung von Geraden.	427
41.2.1	Räumliche Darstellung im Koordinatensystem.	427
41.2.2	Projektion einer Geraden auf die Koordinatenebenen.	428
41.2.3	Spurpunkte von Geraden.	429
41.3	Spezielle Geraden.	431
41.4	Schnittpunkt zweier Geraden.	433
42	Vektorielle Darstellung von Ebenen.	437
42.1	Parameterdarstellung einer Ebene.	437
42.1.1	Punkt-Richtungs-Gleichung.	437
42.1.2	Drei-Punkte-Gleichung.	438
42.2	Koordinatengleichung der Ebene.	439
42.3	Achsenabschnittsgleichung.	440
42.4	Zeichnerische Darstellung von Ebenen.	441
42.4.1	Spurgeraden von Ebenen.	441
42.4.2	Zeichnen einer Ebene.	442

Produkte von Vektoren.

445

43	Das Skalarprodukt.	445
43.1	Winkel zwischen Vektoren.	445
43.2	Definition des Skalarproduktes.	446
43.3	Anwendungen des Skalarproduktes.	447
43.3.1	Winkel eines räumlichen Dreiecks.	447
43.3.2	Schnittwinkel von Geraden.	447
44	Das Vektorprodukt.	449
44.1	Definition des Vektorproduktes.	449
44.2	Anwendungen des Vektorproduktes.	451
45	Das Spatprodukt.	454
45.1	Definition des Spatproduktes.	454
45.2	Anwendungen des Spatproduktes.	455
46	Normalenformen der Ebenengleichung.	458
46.1	Punkt-Normalengleichung der Ebene.	458
46.2	Hesse'sche Normalengleichung der Ebene.	460
47	Abstandsberechnungen.	462
47.1	Abstand eines Punktes von einer Ebene.	462
47.2	Abstand einer Ebene vom Ursprung.	463
47.3	Abstand paralleler Ebenen.	463
47.4	Abstand eines Punktes von einer Geraden.	464
47.5	Abstand windschiefer Geraden.	465
48	Schnittwinkel.	469
48.1	Schnittwinkel von Gerade und Ebene.	469
48.2	Schnittwinkel zweier Ebenen.	470
48.3	Schnittwinkel zweier Geraden.	470
49	Umrechnung von Ebenengleichungen.	472
50	Inzidenz von Geraden und Ebenen.	476
50.1	Schnittgerade zweier Ebenen.	476
50.2	Schnittpunkt von Geraden und Ebenen.	478
50.3	Parallelität und Inzidenz von Ebenen.	480
50.4	Parallelität und Inzidenz von Geraden.	481
51	Grundbegriffe der komplexen Rechnung.	483
51.1	Imaginäre Zahlen.	483
51.2	Komplexe Zahlen.	485
51.3	Gauß'sche Zahlenebene.	486
52	Darstellungsformen komplexer Zahlen.	488
52.1	Komplexe Zahlen in Komponentenform (algebraische oder kartesische Form).	488
52.2	Komplexe Zahlen in Polarform.	490
52.2.1	Trigonometrische Form.	490
52.2.2	Komplexe Zahlen in Exponentialform.	490
53	Komplexe Arithmetik.	492
53.1	Rechenoperationen in der Komponentenform.	492
53.1.1	Addition und Subtraktion komplexer Zahlen.	492
53.1.2	Multiplikation und Division komplexer Zahlen.	493
53.2	Rechenoperationen in der Polarform.	494
53.2.1	Multiplikation in der trigonometrischen Form.	494
53.2.2	Division in der trigonometrischen Form.	496
53.2.3	Potenzieren in der Exponentialform.	497
53.2.4	Radizieren in der Exponentialform.	497
53.2.5	Logarithmieren in der Exponentialform.	498
54	Anwendungen der komplexen Rechnung.	500
54.1	Komplexe Funktionen.	500
54.2	Symbolische Darstellung von Schwingungen.	501
54.3	Komplexe Widerstände.	502
54.4	Ortskurven.	504
54.5	Inversion einer Ortskurve.	506
55	Lösungen.	510

Sachwortverzeichnis.	546

Dipl.-Ing. Heinz Rapp ist Oberstudienrat an einer Fachschule für Technik in Stuttgart und Dozent an der Fachhochschule und an der Berufsakademie.

Vorwort

Das vorliegende Buch ist für die Fachschule konzipiert und damit auf die Belange der Praxis abgestimmt.

Inhaltlich umfasst es den Lehrstoff der Mathematik für Fachschulen der Technik, ist aber in seinen wesentlichen Zügen so gehalten, dass es auch in anderen Schularten verwendet werden kann, die zu einem mittleren Bildungsabschluss (mittlere Reife, Fachschulreife) und zur Fachhochschulreife führen.

Der didaktische Grundgedanke war es, grundlegende Kenntnisse anwendungsorientiert zu vermitteln, ohne dabei die angemessene begriffliche und mathematische Sorgfalt außer Acht zu lassen.

Mit der vorliegenden Auflage des Werkes wird ein Lehrbuch der Mathematik vorgestellt, das den Veränderungen der neuen Lehrpläne an den Fachschulen Rechnung trägt. Es enthält als Erweiterung das Gebiet der Differentialrechnung, der Integralrechnung und der Vektorrechnung, so dass das Buch auch für Schularten (z. B. Berufskollegs) verwendet werden kann, die zu einem höheren Bildungsabschluss (Fachhochschulreife) führen. Das Gebiet der Komplexen Rechnung ist für die Fachschule der Elektrotechnik konzipiert.

Die knappe Darstellung in zweispaltiger Ausführung, bei denen der erklärende Text der praktischen Ausführung mathematischer Berechnungen gegenübergestellt wird, erleichtert das schnelle und gründliche Einarbeiten in das Stoffgebiet.

Zahlreiche durchgerechnete Aufgabenbeispiele mit Lösungsgang ermöglichen es dem Benutzer, sein Können und Wissen selbst zu überprüfen und geben damit einen Anreiz, auch die etwas schwierigen Anwendungsaufgaben anzugehen. In besonderer Weise eignet sich das Buch deshalb auch zum Selbststudium.

Ein Wort des Dankes möchte ich an die Verlagsleitung und an die Mitarbeiter des Verlages richten, insbesondere an Herrn Zipsner und an Herrn Meißner für die gute Zusammenarbeit bei der Drucklegung dieses Buches.

Mein besonderer Dank aber gilt meinem Sohn J. Matthias Rapp für seine Mitarbeit an diesem Buch.

Stuttgart, Januar 2005

Heinz Rapp