:Das Buch ist einem klassischen Teilgebiet der Mathematik gewidmet. Sein Inhalt wird durch die folgenden Stichworte beschrieben: Holomorphe Funktionen einer komplexen Veränderlichen, homogene und inhomogene Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen, Cauchysche Integralsätze und -formeln, isolierte Singularitäten und Residuentheorie, Sätze von Mittag-Leffler und Weierstrass für beliebige Bereiche, elliptische Funktionen, Riemannsche Zeta-Funktion, rationale Approximation, nicht-euklidische Geometrie, Riemannscher Abbildungssatz. Es werden sowohl klassische als auch neuere Ergebnisse ausführlich dargestellt.

Es werden klassische und neuere Ergebnisse der Funktionentheorie ausführlich dargestellt, z.B. homogene und inhomogene Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen, Sätze von Mittag-Leffler und Weierstraß für beliebige Bereiche, rationale Approximation, Riemannscher Abbildungssatz. Der Text wird durch zahlreiche Übungsaufgaben ergänzt. Daher ist das Buch sowohl zum Gebrauch neben Vorlesungen als auch zum Selbststudium geeignet.

Inhaltsverzeichnis

Vorworte	viii
Leitfaden	x

I	Komplexe Zahlen und Funktionen	1
§ 1.	Die komplexen Zahlen.	1
§ 2.	Topologie in der Gaußschen Zahlenebene.	8
§ 3.	Stetige Funktionen.	11
§ 4.	Holomorphe Funktionen.	16
§ 5.	Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.	20
§ 6*.	Differentialformen.	26
§ 7.	Gleichmäßige Konvergenz und Potenzreihen.	28
§ 8.	Elementare Funktionen.	32
§ 9.	Lineare Transformationen und die Riemannsche Zahlensphäre.	37
II	Kurvenintegrale	44
§ 1.	Integrationswege und Integration von Funktionen.	44
§ 2.	Stammfunktionen.	53
§ 3*.	Integration von Differentialformen.	56
§ 4.	Vertauschung von Grenzprozessen.	61
III	Holomorphe Funktionen	66
§ 1.	Der Cauchysche Integralsatz für konvexe Gebiete.	67
§ 2.	Die Cauchyschen Integralformeln.	71
§ 3*.	Die inhomogene Cauchysche Integralformel.	74
§ 4.	Holomorphiekriterien.	79
§ 5.	Potenzreihenentwicklung.	80
§ 6.	Cauchysche Ungleichungen und Folgerungen.	88
§ 7*.	Mittelwerteigenschaft und Maximum-Prinzip.	92
§ 8.	Ganze Funktionen und Polynome.	95
§ 9.	Reell-analytische Funktionen.	99
§ 10*.	Harmonische Funktionen.	102
IV	Der globale Cauchysche Integralsatz	112
§ 1.	Umlaufszahlen.	112
§ 2.	Cauchyscher Integralsatz und Cauchysche Integralformeln.	117
§ 3.	Anwendungen der Umlaufszahl.	122
V	Die Umkehrung der elementaren Funktionen	131
§ 1.	Der Logarithmus.	131
§ 2.	Potenzen.	137
§ 3.	Die Arcus-Funktionen.	141
VI	Isolierte Singularitäten	145
§ 1.	Holomorphe Funktionen in Kreisringen.	145
§ 2.	Isolierte Singularitäten.	152
§ 3.	Meromorphe Funktionen.	158
§ 4.	Der Residuensatz.	161
§ 5*.	Der Residuensatz für Differentialformen.	165
§ 6.	Anwendungen des Residuensatzes in der reellen Analysis.	170
§ 7.	Funktionentheoretische Konsequenzen des Residuensatzes.	181
VII	Partialbruch- und Produktentwicklungen	186
§ 1.	Partialbruchentwicklung.	187
§ 2.	Produktentwicklung.	193
§ 3.	Entwicklung elementarer Funktionen.	198
§ 4.	π.	202
§ 5.	Die Ã-Funktion.	205
§ 6.	Die Stirlingsche Formel.	211
§ 7.	Elliptische Funktionen.	218
§ 8.	Additionstheorem und ebene Kubiken.	232
§ 9.	Die Riemannsche ζ-Funktion.	241
VIII*	Funktionentheorie auf beliebigen Bereichen	251
§ 1.	Die Rungeschen Approximationssätze.	251
§ 2.	Die inhomogenen Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.	259
§ 3.	Hauptteilverteilungen.	264
§ 4.	Divisoren und Nullstellenverteilungen.	268
§ 5.	Der Ring der holomorphen Funktionen auf einem Gebiet.	274
	Anhang. Unendlich oft differenzierbare Funktionen.	280
IX	Biholomorphe Abbildungen	282
§ 1.	Konforme Abbildungen.	282
§ 2.	Automorphismengruppen.	285
§ 3.	Nichteuklidische Geometrie.	288
§ 4.	Folgen konformer Abbildungen und normale Familien.	294
§ 5.	Der Riemannsche Abbildungssatz.	296

Zitierte Literatur	300
Wichtige Bezeichnungen	301
Namen- und Sachverzeichnis	302

:Dr. Wolfgang Fischer ist Professor für Mathematik an der Universität Bremen.
Dr. Ingo Lieb ist Professor für Mathematik an der Universität Bonn.

Zur 9. Auflage:
"The book serves as a basic literature for many advanced courses in complex analysis, and it is very useful to students and to all researchers interested by classical and modern problems in one complex variable."
Zentralblatt MATH, 1084, 10/2006